3月6日下午四点，以流体学中的偏微分方程问题为主题的初阳讲堂在16-907顺利举行。本期讲堂由北京大学数学科学公司教授章志飞主讲，潜陈印老师主持，主要介绍了偏微分方程的研究现状、重要性及核心问题，并探讨了其在流体力学等领域的应用。

    章教授首先通过具体事例的阐述，介绍了偏微分方程（PDE）的重要性与地位。PDE是数学的核心分支之一，连接着数学基础、应用数学与现实世界，是分析、预测和控制复杂现象的强大工具，在物理学（如流体力学、量子物理）、工程学（如结构力学、芯片散热）、金融学（如期权定价）及生物学等领域均有广泛应用。他以一个用偏微分方程解决拓扑学数学问题的事迹为例，展示了数学分析具有非常宽阔的应用空间。

    随后，章教授探讨了PDE的研究核心问题。一是解的存在性与唯一性。首先要确认方程是否有解，以及解是否唯一。若方程无解，则其物理模型可能存在错误。二是解的正则性（Smoothness）。研究解的光滑程度，尤其是在出现奇点（如激波）处的行为。奇点的出现和性质是理论研究和数值计算中的核心难点。三是解的稳定性。研究解对初始扰动的敏感度。一个理论上稳定的解，为何在现实中可能表现出不稳定性，是当前研究的热点问题。

在此基础上，章教授继续介绍了PDE的理论基础与相关数学工具，如广义函数与弱解、函数空间与算子理论、调和分析与近似理论。关于广义函数与弱解，许多物理现象（如激波）的描述都需要用到广义函数（如狄拉克δ函数），从而引出弱解的概念，以放宽对解的光滑性要求。同时，PDE的研究离不开函数空间（如Sobolev空间）和算子理论（如谱分析），这些是进行严格分析的基础。除此之外，调和分析与近似理论可以用于处理复杂方程的简化、逼近和估计，是求解PDE的重要工具。

    接着，章教授举了具体案例，进行前沿问题的探讨。首先，章教授介绍了纳维-斯托克斯方程（N-S方程）。该方程是流体力学的基础，其“光滑解”的存在性至今仍是千禧年大奖难题之一，尚未解决。随后，章教授介绍了湍流稳定性悖论。数学理论预测某些层流解是稳定的，但实验和数值模拟却观察到其不稳定性和混沌行为，两者之间的矛盾被称为“湍流稳定性悖论”。最后，章教授向大家普及了物理神经网络的应用，提出可尝试利用物理神经网络等AI方法，寻找N-S方程的奇异性解。

    最后，章教授建议同学们在本科高年级阶段阅读《数学物理方程》等经典教材，并可参考韩青、林方等老师的入门书籍，为后续深入学习打下基础。

    本次讲座内容翔实、深入浅出，章志飞教授围绕流体力学中的偏微分方程问题，系统阐述了PDE的研究现状、核心理论与前沿挑战，不仅帮助同学们理解数学在现实世界中的深刻应用，也为大家今后的学术探索提供了宝贵的方法指引与研究方向。章教授不仅带来一场生动盎然的数学探索，也对同学们的未来发展提出很高的期待。希望同学们以此次讲堂为契机，在数学与交叉科学的广阔天地中，勤于思考、勇于探索，筑牢理论基础，涵养创新意识，潜心钻研，砥砺前行。